السبت مارس 13, 2010 8:45 amالحقل
الحقل field هو حلقة[ر] واحدية مثل (ل، +، ×) واحدها لايساوي صفرها، وكل عنصرٍ مغايرٍ لصفرها، أيْ من المجموعة ل∗= ل- {∴}، يكون قَلوباً فيها. وإذا كان الضرب المعرَّف على الحقل ل تبديلياً سمي ل عندها حقلاً تبديلياً.
خواص أساسية ونتائج
أ ـ إذا كان ب ' ل∗، جـ ' ل فللمعادلة ب × س= جـ حل وحيد س = ب-1×جـ في ل، وللمعادلة ع × ب = جـ حل وحيد
ع = جـ × ب-1 في ل.
ب ـ لا توجد في الحقل قواسم للصفر.
جـ ـ إذا كان ل حقلاً فإن ل∗ زمرة بالنسبة للضرب. تسمى (ل∗، ×) الزمرة الضربية للحقل ل.
د ـ تكون الزمرة ل∗ دوارة عندما يكون الحقل ل تبديلياً ومنتهياً.
هـ ـ لا يوجد في الحقل سوى مثالين اثنين فقط هما الحقل نفسه والمثالي الصفري.
و ـ كل حقل تبديلي منطقة صحيحة، وكل منطقةٍ صحيحةٍ منتهيةٍ حقل تبديلي.
ز ـ مميز الحقل هو مميزه كحلقة واحدية، ويكون هذا المميز إما صفراً أو عدداً أولياً.
ح ـ حلقة الحدوديات ل [س] ذات المتغير س على الحقل التبديلي ل هي حلقة المثاليات الرئيسة، وذلك بالنسبة لجمع الحدوديات وضربها.
أمثلة
أ ـ كل من الحلقات ع، ح، ق حقل تبديلي، بينما الحلقة ص ليست حقلاً.
ب ـ رباعيات هاملتون: يسمى كل عنصر (أ1 ، أ2 ، أ3 ، أ4) من ح4 رباعية ويكتب بشكل وحيد على النحو:
أ1ي+ أ2 سـ + أ3عـ + أ4صـ، حيث:
ي= (1، ∴، ∴، ∴)، سـ = (∴، 1، ∴، ∴)، عـ = (∴،∴، 1، ∴)، صـ = (∴، ∴، ∴، 1)، ب (س1، س2، س3، س4) = (ب س1، ب س2، ب س3، ب س4).
تجمع الرباعيات بالطريقة المألوفة، وتضرب بالطريقة المألوفة استناداً إلى الجدول:
×
ي
سـ
عـ
صـ
ي
ي
سـ
عـ
صـ
سـ
سـ
- ي
صـ
- عـ
عـ
عـ
- صـ
- ي
سـ
صـ
صـ
عـ
- سـ
- ي
وإذا كانت الرباعية أ = أ1 ي+ أ2 سـ+ أ3 عـ+ أ4 صـ مغايرة للصفر فإن الرباعية
مقلوب أ في ح4، حيث يكون:
ومنه (ح4، +، ×) حقل غير تبديلي.
تتمات
أ ـ تعريف: يقال عن المجموعة الجزئية ج من الحقل (ل، +، ×) إنها حقل جزئي إذا كانت ج مؤلفة من عنصرين مختلفين (اثنين على الأقل) وكان:
(1) س-ع ' ج لكل عنصرين س، ع، من ج.
(2) س × ع-1 ' ج∗ لكل عنصرين س، ع من ج∗ = ج - {∴}.
ب ـ التشاكل الحقلي: هو تشاكل حلقي مثل تا: ل ¬ لَ ، منطلقه حقل ل ومستقره حقل لَ، بحيث تكون صورة واحد الحقل ل، وفق تا، هي واحد الحقل لَ.
يتصف التشاكل الحقلي تا بأنه متباين دوماً. فإذا كان تا غامراً سمي تماثلاً حقلياً. وعلى هذا فإن الحقل ل يماثل الحقل الجزئي تا(ل) من لَ.
عبد الواحد أبو حمدة
الحقل field هو حلقة[ر] واحدية مثل (ل، +، ×) واحدها لايساوي صفرها، وكل عنصرٍ مغايرٍ لصفرها، أيْ من المجموعة ل∗= ل- {∴}، يكون قَلوباً فيها. وإذا كان الضرب المعرَّف على الحقل ل تبديلياً سمي ل عندها حقلاً تبديلياً.
خواص أساسية ونتائج
أ ـ إذا كان ب ' ل∗، جـ ' ل فللمعادلة ب × س= جـ حل وحيد س = ب-1×جـ في ل، وللمعادلة ع × ب = جـ حل وحيد
ع = جـ × ب-1 في ل.
ب ـ لا توجد في الحقل قواسم للصفر.
جـ ـ إذا كان ل حقلاً فإن ل∗ زمرة بالنسبة للضرب. تسمى (ل∗، ×) الزمرة الضربية للحقل ل.
د ـ تكون الزمرة ل∗ دوارة عندما يكون الحقل ل تبديلياً ومنتهياً.
هـ ـ لا يوجد في الحقل سوى مثالين اثنين فقط هما الحقل نفسه والمثالي الصفري.
و ـ كل حقل تبديلي منطقة صحيحة، وكل منطقةٍ صحيحةٍ منتهيةٍ حقل تبديلي.
ز ـ مميز الحقل هو مميزه كحلقة واحدية، ويكون هذا المميز إما صفراً أو عدداً أولياً.
ح ـ حلقة الحدوديات ل [س] ذات المتغير س على الحقل التبديلي ل هي حلقة المثاليات الرئيسة، وذلك بالنسبة لجمع الحدوديات وضربها.
أمثلة
أ ـ كل من الحلقات ع، ح، ق حقل تبديلي، بينما الحلقة ص ليست حقلاً.
ب ـ رباعيات هاملتون: يسمى كل عنصر (أ1 ، أ2 ، أ3 ، أ4) من ح4 رباعية ويكتب بشكل وحيد على النحو:
أ1ي+ أ2 سـ + أ3عـ + أ4صـ، حيث:
ي= (1، ∴، ∴، ∴)، سـ = (∴، 1، ∴، ∴)، عـ = (∴،∴، 1، ∴)، صـ = (∴، ∴، ∴، 1)، ب (س1، س2، س3، س4) = (ب س1، ب س2، ب س3، ب س4).
تجمع الرباعيات بالطريقة المألوفة، وتضرب بالطريقة المألوفة استناداً إلى الجدول:
×
ي
سـ
عـ
صـ
ي
ي
سـ
عـ
صـ
سـ
سـ
- ي
صـ
- عـ
عـ
عـ
- صـ
- ي
سـ
صـ
صـ
عـ
- سـ
- ي
وإذا كانت الرباعية أ = أ1 ي+ أ2 سـ+ أ3 عـ+ أ4 صـ مغايرة للصفر فإن الرباعية
مقلوب أ في ح4، حيث يكون:
ومنه (ح4، +، ×) حقل غير تبديلي.
تتمات
أ ـ تعريف: يقال عن المجموعة الجزئية ج من الحقل (ل، +، ×) إنها حقل جزئي إذا كانت ج مؤلفة من عنصرين مختلفين (اثنين على الأقل) وكان:
(1) س-ع ' ج لكل عنصرين س، ع، من ج.
(2) س × ع-1 ' ج∗ لكل عنصرين س، ع من ج∗ = ج - {∴}.
ب ـ التشاكل الحقلي: هو تشاكل حلقي مثل تا: ل ¬ لَ ، منطلقه حقل ل ومستقره حقل لَ، بحيث تكون صورة واحد الحقل ل، وفق تا، هي واحد الحقل لَ.
يتصف التشاكل الحقلي تا بأنه متباين دوماً. فإذا كان تا غامراً سمي تماثلاً حقلياً. وعلى هذا فإن الحقل ل يماثل الحقل الجزئي تا(ل) من لَ.
عبد الواحد أبو حمدة
